Introduccion a la mecánica de Lagrange y Hamilton [MU][Exc]

I Fundamentos físicos y matemáticos básicos para estudiar Mecánica
de Lagrange y Hamilton

1 Dinámica de un sistema de partículas
1.1. Sistema de partículas
1.2. Clasificación de los sistemas de partículas
1.2.1. Discreto
1.2.2. Continuo
1.3. Fuerzas en un sistema de partículas
1.3.1. Externas e internas
Fuerzas externas
Fuerzas internas
1.3.2. Aplicadas y de reacción
Aplicadas
De reacción
1.4. Centro de masa
1.4.1. Para un sistema discreto
1.4.2. Para un sistema continuo
1.4.3. Para un sistema compuesto
1.5. Movimiento del centro de masa
1.6. Momento lineal y su conservación
1.7. Momento angular y su conservación
1.8. Energía y su conservación
1.8.1. Energía cinética
1.8.2. Energía potencial
1.8.3. Conservación de la energía mecánica
1.9. Problemas
2 Definiciones y principios básicos
2.1. Propiedades del espacio y el tiempo
2.2. Ligaduras
2.3. Clasificación de las ligaduras
2.3.1. Si son o no desigualdades
Unilaterales
Bilaterales
2.3.2. Si dependen explícita o implícitamente del tiempo
Ligaduras reónomas
Ligaduras esclerónomas
2.3.3. Por su integrabilidad
Ligaduras holónomas o geométricas
Ligaduras no-holónomas
2.4. Fuerza de ligadura y fuerza aplicada
2.4.1. Ligaduras lisas
2.4.2. Ligaduras rugosas
2.5. Dificultades introducidas por las ligaduras
2.6. Coordenadas generalizadas
2.7. Espacio de configuración
2.8. Magnitudes mecánicas en coordenadas generalizadas
2.8.1. Desplazamiento
2.8.2. Velocidad
2.8.3. Aceleración
2.8.4. Trabajo mecánico
2.8.5. Energía cinética
2.9. Desplazamiento virtual y trabajo virtual
2.9.1. Desplazamiento virtual
2.9.2. Trabajo virtual
2.10.Algunos principios mecánicos básicos
2.10.1. Principio de los trabajos virtuales
2.10.2. Principio de D’Alembert
2.10.3. Principio de Hamilton o de acción estacionaria
3 Cálculo variacional con fronteras fijas
3.1. Planteamiento del problema
3.2. Cálculo de extremales sin restricciones
3.2.1. Para una variable dependiente — Ecuación de Euler
3.2.2. Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de Euler - Lagrange
3.3. Cálculo de extremales con restricciones
3.3.1. Restricciones del tipo g [yi (x) ; x] = 0 y g [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0
3.3.2. Restricciones del tipo isoperimétrico
3.4. La notación _
3.5. Problemas
4 Transformación de Legendre
4.1. Definición
4.2. Para una variable independiente
4.3. Para más de una variable independiente
4.4. Variables activas y pasivas
4.5. Algunas propiedades matemáticas de la transformación de Legendre
4.5.1. La inversa de la transformación de Legendre
4.5.2. Valores extremos .
4.5.3. Simetrías y relaciones entre derivadas
4.6. Problemas

II Mecánica de Lagrange y Hamilton

5 Mecánica Lagrangiana
5.1. Ecuaciones de Lagrange partiendo del Principio de D’Alembert
5.1.1. Sistemas holónomos
Cuando las ligaduras se usan en forma implícita
Cuando las ligaduras se usan en forma explícita
5.1.2. Sistemas no-holónomos
5.2. Ecuaciones de Lagrange partiendo del Principio de Hamilton
5.2.1. Sistemas holónomos
Cuando las ligaduras se usan en forma implícita
Cuando las ligaduras se usan en forma explícita
5.2.2. Sistemas no-holónomos
5.3. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma implícita)
5.4. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma explícita)
5.5. Ejemplos con ligaduras semi-holónomas
5.6. Condición de integrabilidad de las ecuaciones de Lagrange
5.7. Invariancia de las ecuaciones de Lagrange
5.8. Equivalencia entre las ecuaciones de Lagrange y de Newton
5.9. Momentos generalizados
5.10.Coordenadas cíclicas o ignorables
5.11.Integrales primeras de movimiento
5.12.Integrales primeras de movimiento para un sistema cerrado
5.13.Teoremas de conservación
5.13.1. Conservación de la energía
5.13.2. Conservación del momento generalizado - Conservación del momento ineal y angular
Conservación del momento lineal
Conservación del momento angular
5.14.Teorema de Noether
5.15.Mecánica Lagrangiana vs la Newtoniana
5.16.Problemas
6 Mecánica Hamiltoniana
6.1. Ecuaciones de Hamilton
6.1.1. Sistemas holónomos
Las ligaduras se usan en forma implícita
Las ligaduras se usan en forma explícita
6.1.2. Sistemas no-holónomos
6.2. Pasos a seguir para construir un Hamiltoniano
6.3. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma implícita)
6.4. Ejemplos con ligaduras holónomas (forma explícita)
6.5. Ejemplos con ligaduras semi-holónomas
6.6. Ecuaciones de Hamilton a partir del principio de Hamilton
6.7. Espacio de fase
6.8. Teorema de Liouville
6.9. Forma simpléctica de las Ecuaciones de Hamilton
6.10.El método de Routh
6.11.Dinámica Lagrangiana vs Hamiltoniana
6.12.Problemas
7 Transformaciones canónicas
7.1. Definición
7.2. Ecuaciones de transformación canónicas
7.2.1. Caso 1: Función generatriz F1 = F1 (qi; eqi; t)
7.2.2. Caso 2: Función generatriz F2 = F2 (qi; epi; t)
7.2.3. Caso 3: Función generatriz F3 = F3 (pi; eqi; t)
7.2.4. Caso 4: Función generatriz F4 = F4 (pi; epi; t)
7.3. Invariante integral universal de Poincaré
7.4. Corchetes de Lagrange y Poisson
7.4.1. Corchetes de Lagrange
7.4.2. Corchetes de Poisson
7.4.3. Ecuaciones de Hamilton en corchetes de Poisson
7.5. Transformaciones canónicas infinitesimales
7.6. Forma simpléctica de las transformaciones canónicas
7.7. Problemas
8 Teoría de Hamilton-Jacobi
8.1. Ecuación de Hamilton-Jacobi
8.2. Solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi
8.2.1. Para sistemas con H independiente del tiempo
8.2.2. Para sistemas con H independiente del tiempo y alguna coordenada cíclica
8.2.3. Para sistemas con H independiente del tiempo y coordenadas no cíclicas
8.3. Ejemplos de aplicación de la ecuación de Hamilton-Jacobi
8.4. Variables acción-ángulo en sistemas con un grado de libertad
A Teorema de Euler
B Funciones monótonas y continuidad
C Lema fundamental del cálculo de variaciones
D Propiedades de los determinantes


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